Тригонометрия – особый математический раздел, который изучает тригонометрические функции и их употребление. Это знает каждый человек, потому что учится это в школе.
Но с взрослением, например, формулы и тождества забываются, если их не использовать. С другой стороны, ребенок, пропустивший школьные занятия, потеряется в изобилии различных формул и причин их употребления. Ему будет тяжело выучить основные тригонометрические формулы самому.
Впервые термин прозвучал в книге Бартоломеуса Питискуса, он был немецким математиком, однако применялись основы задолго до публикации трудов. Тригонометрические формулы своей целью ставят создание соотношений среди основных тригонометрических функций.
Среди таких: синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы.
В следствии того, что видов взаимодействия среди составляющих огромное множество, то и основные тригонометрические формулы существуют в большом изобилии.
Виды форм связи в формулах:
- Связи одного угла;
- Связи кратного угла;
- Понижения степеней;
- Выражение подходящих функций с помощью тангенсов половинных углов и так далее.
Необходимо отметить то, что основные тригонометрические тождества оказывают прямое воздействие на синус, косинус, тангенс, котангенс одного угла. Происходят из определений этих переменных (синус, косинус и т.д.) и единичностей окружностей. Взаимосвязь представленных формул делает возможным выражение одной функции, используя любые другие.
Формулы основных тригонометрических тождеств
- sin² α + cos² α = 1;
- tg α · ctg α = 1;
- tg α = sin α ÷ cos α;
- ctg α = cos α ÷ sin α;
- 1 + tg² α = 1 ÷ cos² α;
- 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α.
Формулы приведений состоят из всех признаков и свойств косинусов, синусов, тангенсов, котангенсов. В своей сущности они выражают различные свойства: периодичности функций, симметрию, состояние сдвига углов. Благодаря использованию формул приведения, становится возможным счет с использованием угла в диапазоне от 90 до 0 градусов.
Итак, какие же бывают формулы?
- Формулы сложения и вычитания составляющих (косинусов, синусов, тангенсов, котангенсов);
- Формулы двойных углов с использованием составляющих;
- Формулы преобразований сумм и разностей в результат;
- Формулы половинных аргументов;
- Формулы тройного угла;
- Формулы преобразования произведения в сумму или разности;
- Вариативное использованием тангенсов в формуле с половинными аргументами.
Формулы сложения
sin (α +- β) = sin α · cos β +- sin β · cos α
cos (α +- β) = cos α · cos β -+ sin α · sin β
tg (α +- β) = (tg α +- tg β) ÷ (1 -+ tg α · tg β)
ctg (α -+ β) = (ctg α · ctg β -+ 1) ÷ (ctg β +- ctg α)
Формулы двойного угла
cos 2α = cos² α — sin² α
cos 2α = 2cos² α — 1
cos 2α = 1 — 2sin² α
sin 2α = 2sin α · cos α
tg 2α = (2tg α) ÷ (1 — tg² α)
ctg 2α = (ctg² α — 1) ÷ (2ctg α)
Формулы тройных углов
sin 3α = 3sin α — 4sin³ α
cos 3α = 4cos³ α — 3cos α
tg 3α = (3tg α — tg³ α) ÷ (1 — 3tg² α)
ctg 3α = (3ctg α — ctg³ α) ÷ (1 — 3ctg² α)
Переход от произведения к сумме
sin α · cos β = ½ (sin (α +- β) + sin (α +- β))
cos α · cos β = ½ (cos (α — β) + cos (α + β))
Основные тригонометрические формулы применяются в тригонометрических уравнениях. Благодаря их использованию, становится возможным преобразование формул и решений.
Используя тригонометрические формулы в решении тригонометрических уравнений, необходимо использовать метод группировки. Также становится возможным использованием метода замены переменной. Следует быть внимательным и выполнить обратную замену позже.
Благодаря использование основных тригонометрических формул раскрытие модулей и решение иррациональных уравнений упрощается.
Помимо этого, формулы отлично взаимодействуют с преобразованием выражений с использованием классических алгебраических методов (сокращения, вынесения, применение перемножения, приведения и т.д.)
Представим, перед нами сложное уравнение, с которым можно справиться, только используя тригонометрические формулы. Что же делать? Начать подбор формул, подходящих к решению. Если решение продвигается дальше, то формула подобрана правильно. Но, если стало хуже или сложнее, то вернуться к выбору подходящей формулы хорошая идея.
