Ранг матрицы — это наибольшее число строк, которые линейно независимы и могут быть рассмотрены в качестве векторов. Более простым языком можно сказать, что рангом матрицы называется количество строк, в которых не все элементы равны нулю, после преобразования матрицы к ступенчатому виду. Ненулевыми строками называют те, в которых хотя бы один элемент имеет значение, отличное от нуля. В этой статье рассматриваются способы, с помощью которых можно найти ранг матрицы.
Необходимые понятия
Элементарные преобразования – это преобразования, после которых полученная матрица является эквивалентной для исходной.
Элементарные преобразования означают следующие действия:
- Умножить строку или столбец на число не равное 0;
- Поменять местами любые 2 строки или 2 столбца;
- Прибавить к строке другую строку (или к столбцу другой столбец) соответственно, помноженных на некоторое ненулевое число.
Матрица является ступенчатой, если она содержит хотя бы одну нулевую строку. Кроме этого если 1-й элемент некоторой строки не равный нулю расположен в i-м столбце, то этот элемент следующей строки должен находится в столбце с номером большим за i.
Минор k-го порядка – это определитель матрицы размера k на k, состоящей из k строк и такого же числа столбцов исходной матрицы. Порядок в этих строках и столбцах при этом остаётся прежним.
Способы для поиска ранга
Метод единиц и нулей
После применения элементарных преобразований, каждая матрица может быть приведена к такому виду, при котором все её столбцы будут состоять строго из нулей или иметь в своём составе максимум одну единицу. Посчитав количество единиц, мы сможем определить ранг.
Алгоритм, реализующий данный метод:
- Выполняем элементарные преобразования до тех пор, пока матрица не будет состоять только из нулей и единиц
- Считаем количество единиц
- Количество единиц равно искомому рангу
Пример поиска ранга, используя метод нулей и единиц:
- Первоначально дана матрица такого вида:
- 3-й столбец разделим на 2. 1-ую строку умножим на -2 и сложим с 4-й.
- Умножим 2-й столбец на -2 и сложим его с 4-м столбцом. После этого умножим 2-й столбец на -4 и сложим его с 1-м. Далее прибавим 2-й столбец к 5-му.
- 3-ю строку умножим на -2. Прибавим её ко 2-ой.
- Сложим 5-й столбец с 1-м.
- 3-й столбец умножим на 3 и сложим с 1-м.
- Умножим 3-й столбец на -1 и прибавим к нему 2-й и 4-й.
- Умножим 4-й столбец на -3 и сложим с 5-м. Наконец умножим 4-й столбец на -1. Итоговая матрица принимает следующий вид:
Количество единиц составляет 3, следовательно ранг имеет такое же значение.
Сведение матрицы к ступенчатому виду
Для данного способа также, как и для предыдущего, сперва нужно привести матрицу к определённому виду. Сведение её к ступенчатой позволяет найти ранг матрицы методом элементарных преобразований.
Алгоритм для данного метода:
- Выполняем элементарные преобразования, пока матрица не станет ступенчатой
- Считаем количество строк
- Количество строк равно искомому рангу.
Метод окаймляющих миноров
Чтобы найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров нужно рассмотреть большое количество миноров.
Алгоритм, реализующий данный метод:
- Находим наименьшее число из величины матрицы по горизонтали и вертикали. Оно будет максимальным возможным значением ранга.
- Далее начинаем поиск миноров от самых меньших.
- Если минор имеет значение 0, то рассматриваем другие миноры этого порядка. Если все они имеют значение 0, то ранг равняется предыдущему порядку.
- Если существует хотя бы один минор не равный 0, то увеличиваем порядок на 1 и рассматриваем окаймляющие миноры. Возвращаемся на 3-й пункт.
Онлайн-калькуляторы для поиска ранга матрицы
Иногда у пользователя нет времени, чтобы самостоятельно изучить методы для поиска ранга. Из-за этого возникает вопрос: «Как найти ранг матрицы для чайников?».
В сети «Интернет» достаточно калькуляторов, которые помогают найти ранг матрицы онлайн с подробным решением. Однако почти все они производят поиск ранга, применяя при этом элементарные преобразования. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров онлайн чаще всего не предоставляется возможным, так как этот способ не очень удобен и требует большого количества вычисления определителей.
