Определения и основные понятия
Вектор – это направленный отрезок, имеющий начало в точке А и конец в точке В, обозначается (АВ) или a . Графически направление обозначается стрелкой от начала к концу.
(АВ) имеет длину |(АВ) |, именуемой модулем, что определяет его числовое значение. Если точка А расположена там же, где и точка В, то длина равна нулю, а вектор именуют нулевым 0 . Если длина равна единице, то это единичный вектор, именуемый ортом. Длину на плоскости можно вычислить по формуле:
d=(x^2+y^2 )
По отношению к другому отрезку, исходный направленный отрезок может быть сонаправленным a b , то есть направления совпадают, между ними угол 0°, и противонаправленным a b , то есть направления противоположны, между ними угол 180°.
Коллинеарные векторы – это векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой.
Компланарные векторы – это векторы, лежащие в параллельных плоскостях или в одной плоскости.
Условие равенства двух a =b заключается в их коллинеарности и сонаправленности a b , равенстве длин |a |=|b |.
Как умножить вектор на число
Что значит умножить вектор на число? Это значит получить другой вектор, коллинеарный данному, сонаправленный с ним при положительном числе >0 или противонаправленный с ним при <0, модуль которого равен произведению модуля заданного вектора и модуля .
Чтобы умножить вектор на число необходимо воспользоваться формулами:
b =a и |b |=|a |||
где a – исходный вектор, – число, не равное 0, b – полученный при умножении вектор.
Чтобы умножить число на координаты вектора необходимо воспользоваться формулой:
a =(x,y)
где x и y – координаты исходного вектора.
Примеры задач
Задача 1: Упростить выражение 2(a -b )-3(c +a )+4(a +c ) и найти w , если a =(1;3)(2;7), b =(4;8)(6;5), c =(2;4)(1;9).
Решение: 2(a -b )-3(c +a )+4(b -c ) = 2a -2b -3c -3a +4b —4c =-a +2b -7c .
x_wн=-x_aн+2x_bн-7x_cн=-1+24-72=-1+8-14=-7;
x_wк=-x_aк+2x_bк-7x_cк=-2+26-71=-2+12-7=3;
y_wн=-y_aн+2y_bн-7y_cн=-3+28-74=-3+16-28=-15;
y_wк=-y_aк+2y_bк-7y_cк=-7+25-79=-7+10-63=-60;
Ответ: w =(-7;-15)(3;-60).
Задача 2: На рисунке графически изображены два вектора, определить на какое был умножен a для получения b .
Решение:
a имеет координаты: x_aн=1; x_aк=2;y_aн=2; y_aк=4;
b имеет координаты: x_bн=3; x_bк=6;y_bн=6; y_bк=12.
Возьмем координаты начала и конца b разделим на a :
=x_bнx_aн=31=3.
Аналогично и с другими координатами.
Ответ: =3.
Задача 3: Получить b , зная a =(1;4)(3;9) и =5.
Решение:
x_bн=x_aн =15=5;
x_bк=x_aк =35=15;
y_bн=y_aн =45=20;
y_bк=y_aк =95=45.
Ответ: b =(5;20)(15;45).
Рисунок 2 – графическое изображение a (фиолетовым цветом) и b (синим цветом).
